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Métodos de Factorización de Polinomios: Teoría y Ejemplos

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Fuente: http://www.cienciamatematica.com
Métodos de Factorización de Polinomios: Teoría y Ejemplos,

Métodos de Factorización

Los métodos o casos  de factorización son técnicas que se utilizan para reducir el polinomio en factores primos.

En este post enseñaremos diversos métodos factorización con ejemplos para afianzar esta teoría.

Factor Común

El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente. Este método consiste en buscar factores comunes que pueden ser monomios o polinomios de más de un término. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 01:

Factorice el siguiente Polinomio:

P(x) = x4 + x6

Resolución:

De estos dos monomios el factor común será el de menor exponente, o sea: x4

Entonces:

P(x) = x4(1 + x2)

⇒ El Polinomio dado tiene dos factores primos, uno lineal (x4 ) y otro cuadrático (1 + x2).

Ejemplo 02:

Factorizar: 

M = 2x5y3 + 2x5z – 2x5

Resolución:

Para este ejemplo el Factor Común será el monomio: 2x5, entonces la expresión factorizada será:

M = 2x5 (y3 + z – 1)

⇒ Los factores primos son: x; (y3 + z – 1)

Ejemplo 03:

Factorizar:

N = (a + b3) + (a + b3)x + (a + b3)z 

Resolución:

Identificamos el Factor Común, que es: (a + b3) de donde:

N = (a + b3)(1 + x + z)

⇒ Los factores primos son: (a + b3); (1 + x + z)

Método de Agrupación de Término

Este método se aplica cuando no se tiene factor común en el polinomio dado, por lo que será convenientemente la agrupación de términos. De forma, obtener factores comunes en la expresión..

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 04:

Factorizar el polinomio:

P = (ax + by)2 + (ay – bx)2

Resolución:

Desarrollando por productos notables.

P = a2x2 + 2abxy + b2y2 + a2y2 – 2abxy + b2x2

Simplificando:

P = a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2

Agrupando el primero con el tercero término y el segundo con el cuarto término, tenemos:

⇒ P = (a2x2 + a2y2) + (b2y2 + b2x2)
⇒ P = a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)

∴ P = (a2 + b2)(x2 + y2)

Ejemplo 05:

Factorizar el Polinomio:

P(m,n) = a2m – am2 – 2a2n + 2amn + m3 – 2m2n

Resolución:

A simple vista no existe factor común alguno, por lo que tendremos que agrupar convenientemente los términos; así:

{a2m – 2an2} {- am2 + 2a2mn} {+ m3 – 2m2n}

Aquí, aplicamos el método del factor común en cada agrupación.

⇒ a2(m – 2n) – am(m – 2n) + m2(m – 2n)

Factor común: (m – 2n)

Entonces, en el polinomio:

P(m,n) = (m – 2n)(a2 – am + m2)

Método de Identidades Notables

En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas de los productos notables; pero, en sentido inverso.

Veamos:

1. x2 ± 2xy + y2  = (x ± y)2

2. x2 – y2  = (x + y)(x + y)

3. x3 – y3  = (x – y)(x2 + xy + y2)

4. x3 + y3  = (x + y)(x2 – xy + y2)

Ejemplo 06:

Factorizar el siguiente Polinomio:

T(x) = 9x2 – 1

Resolución:

Note en este polinomio que se trata de una diferencia de cuadrados.

Vamos a darle la forma:

T(x) = 9x2 – 1

⇒ T(x) = (3x)2 – 12

Por lo tanto, el polinomio factorizado será:

∴ T(x) = (3x – 1)(3x + 1)

Ejemplo 07:

Reducir el siguiente Polinomio:

P(x) = x3 – 8

Resolución:

En este ejemplo vemos una diferencia de cubos, damos la forma así:

P(x) = x3 – 8

P(x) = x3 – 23

 P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 4)

Entonces, decimos que el polinomio P(x) al factorizarse tiene dos factores primos, uno lineal y otro cuadrático.

Ejemplo 08:

Factorizar el polinomio e indicar el número de factores primos:

P(x; y) = (x² –  y²)(x³ – y³)

Resolución:

Descomponiendo los dos productos de factores, tenemos:

P(x; y) = (x + y)(x – y)(x – y)(x² + xy + y²)

⇒ P(x; y) = (x + y)(x – y)²(x² + xy + y²)

Por lo tanto, el número de factores primos es 3.

¡Importante!

En el resultado de este ejemplo:

P(x; y) = (x + y)(x – y)²(x² + xy + y²) 

Se tiene que tomar en cuenta  que (x – y)² tiene como factor primo a «x – y», el exponente 2 sólo indica repetición. Por ello, se considera que esta factorización tiene tres factores primos.

 


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